1d Hydraulik (Manning-Strickler Formel)

Machen Sie sich bereit, indem Sie das Übungsrepository klonen:

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Theoretischer Hintergrund¶

The Gauckler-Manning-Strickler formula Kundu & Cohen, 2008 (or Strickler formula in Europe) relates water depth and flow velocity of open channel flow based on the assumption of one-dimensional (cross-section-averaged) flow characteristics. The Strickler formula results from a heavy simplification of the Navier-Stokes-Gleichungen and the Kontinuitätsgleichung Kundu & Cohen, 2008. Even though one-dimensional (1d) approaches have largely been replaced by at least two-dimensional (2d) numerical models today, the 1d Strickler formula is still frequently used as a first approximation for boundary conditions.

Die Grundform der Strickler Formel ist:

wobei:

• $u$ die querschnittsgemittelte Strömungsgeschwindigkeit in (m/s)

• $k_{st}$ is the Strickler coefficient in fictional (m$^{1/3}$/s) corresponding to the inverse of Manning’s $n_m$.

  • $k_{st}$ $\approx$ 20 ($n_m \approx$ 0.05) for rough, complex, and near-natural rivers

  • $k_{st}$ $\approx$ 90 ($n_m \approx$ 0.011) for smooth, concrete-lined channels

  • $k_{st}$ $\approx$ 26/$D_{90}^{1/6}$ (approximation based on the grain size $D_{90}$, where 90% of the surface sediment grains are smaller, according to Meyer-Peter & Müller (1948).

• $S$ ist die hypothetische Energiesteigung (m/m), von der angenommen werden kann, dass sie der Kanalsteigung für stetige, gleichmäßige Strömungsverhältnisse entspricht.

• $R_{h}$ ist der hydraulische Radius in (m)

The hydraulic radius $R_{h}$ is the ratio of wetted area $A$ and wetted perimeter $P$. Both $A$ and $P$ can be calculated as a function of the water depth $h$ and the channel base width $b$. Many channel cross-sections can be approximated with a trapezoidal shape, where the water surface width $B=b+2\cdot h\cdot m$ (with $m$ being the bank slope as indicated in the figure below).

Daher ergeben sich $A$ und $P$ aus den folgenden Formeln:

Finally, the discharge $Q$ (m³/s) can be calculated as:

Berechnung der Entlastung¶

Write a script that prints the discharge as a function of the channel base width $b$, bank slope $m$, water depth $h$, the slope $S$, and the Strickler coefficient $k_{st}$.

Funktionalisieren¶

Cast the calculation into a function (e.g., def calc_discharge(b, h, k_st, m, S): ...) that returns the discharge $Q$.

Flexibilisierung¶

Machen Sie die Funktion durch die Implementierung von (optional) keyword arguments flexibler, so dass ein Benutzer wahlweise entweder $D_{90}$ (D90), den Strickler-Koeffizienten $k_{st}$ (k_st) oder Mannings $n_m$ (n_m) bereitstellen kann.

Invertieren der Funktion¶

Die Rückwärtslösung der Manning-Strickler Formel ist ein nichtlineares Problem, wenn der Kanal nicht rechteckig ist. Aus diesem Grund ist eine iterative Approximation erforderlich und hier verwenden wir das Newton-Raphson-Schema Akanbi & Katopodes, 1987 für diesen Zweck (siehe auch die die ILIAS-Plattform der Universität Stuttgart].

Use a Newton-Raphson solution scheme Paine, 1992 to interpolate the water depth h for a given discharge Q of a trapezoidal channel.

• Schreibe eine neue Funktion def interpolate_h(Q, b, m, S, **kwargs):

• Define an initial guess of h (e.g., h = 1.0) and an initial error margin (e.g., eps = 1.0)

• Use a while loop until the error margin is negligible small (e.g., while eps > 10**-3:) and calculate the :

  • wetted area A (see above formula)

  • wetted perimeter P (see above formula)

  • aktuelle Entladungsschätzung (basierend auf h): Qk = A ** (5/3) * sqrt(S) / (n_m * P ** (2 / 3))

  • Fehlermeldung eps = abs(Q - Qk) / Q

  • derivative of A:
    dA_dh = b + 2 * m * h

  • derivative of P:
    dP_dh = 2 * m.sqrt(m ** 2 + 1)

  • function that should become zero F = n_m * Q * P ** (2 / 3) - A ** (5 / 3) * m.sqrt(S)

  • its derivative:
    dF_dh = 2/3 * n_m * Q * P ** (-1 / 3) * dP_dh - 5 / 3 * A ** (2 / 3) * m.sqrt(S) * dA_dh

  • water depth update h = abs(h - F / dF_dh)

• Implementieren Sie einen Notstopp, um endlose Iterationen zu vermeiden - das Newton-Raphson-Schema ist nicht immer stabil!

• Return h und eps (oder berechnete Entladung Qk)