1d Hydraulik (Manning-Strickler-Formel)

Bereiten Sie sich durch Klonen des Übungs-Repository:

git clone https://github.com/Ecohydraulics/Exercise-ManningStrickler.git

Theoretische Hintergrund¶

The Gauckler-Manning-Strickler formula Kundu & Cohen, 2008 (or Strickler formula in Europe) relates water depth and flow velocity of open channel flow based on the assumption of one-dimensional (cross-section-averaged) flow characteristics. The Strickler formula results from a heavy simplification of the Navier-Stokes equations and the Continuity equation Kundu & Cohen, 2008. Even though one-dimensional (1d) approaches have largely been replaced by at least two-dimensional (2d) numerical models today, the 1d Strickler formula is still frequently used as a first approximation for boundary conditions.

Die Grundform der Strickler Formel ist:

Wo:

• $u$ ist die Querschnittsdurchschnittsgeschwindigkeit in (m/s)

• $k_{st}$ is the Strickler coefficient in fictional (m$^{1/3}$/s) corresponding to the inverse of Manning’s $n_m$.

  • $k_{st}$ $\approx$ 20 ($n_m \approx$ 0.05) for rough, complex, and near-natural rivers

  • $k_{st}$ $\approx$ 90 ($n_m \approx$ 0.011) for smooth, concrete-lined channels

  • $k_{st}$ $\approx$ 26/$D_{90}^{1/6}$ (approximation based on the grain size $D_{90}$, where 90% of the surface sediment grains are smaller, according to Meyer-Peter & Müller (1948).

• $S$ ist die hypothetische Energieneigung (m/m), die für stetige, gleichmäßige Strömungsverhältnisse mit der Kanalneigung übereinstimmt.

• $R_{h}$ ist der hydraulische Radius in (m)

Der Hydraulikradius $R_{h}$ ist das Verhältnis von benetzter Fläche $A$ und benetzter Perimeter $P$. Sowohl $A$ als auch $P$ können in Abhängigkeit von der Wassertiefe $h$ und der Kanalbasisbreite $b$ berechnet werden. Viele Kanalquerschnitte können mit trapezförmiger Form angenähert werden, wobei die Wasseroberflächenbreite $B=b+2\cdot h\cdot m$ (mit $m$ die Bankflanke ist, wie in der Abbildung unten angegeben).

So ergeben sich $A$ und $P$ aus den folgenden Formeln:

Schließlich kann die Entlastung $Q$ (m3/s) als:

Berechnung der Entladung¶

Schreiben Sie ein Skript, das die Entladung in Abhängigkeit von der Kanalbasisbreite $b$, Bankhang $m$, Wassertiefe $h$, der Steigung $S$ und dem Strickler-Koeffizienten $k_{st}$ ausdruckt.

Funktionalisierung¶

Gießen Sie die Berechnung in eine Funktion (z.B. def calc_discharge(b, h, k_st, m, S): ...), die die Entlastung $Q$ zurückgibt.

Flexibilität¶

Nutzen Sie die Funktion durch die Implementierung von (optional) keyword arguments, damit ein Benutzer wahlweise die $D_{90}$ (D90), den Strickler-Koeffizienten$k_{st}$ (k_st) oder Manning’s $n_m$ (n_m) bereitstellen kann.

Invertieren Sie die Funktion¶

Die rückständige Lösung der Manning-Strickler Formel ist ein nichtlineares Problem, wenn der Kanal nicht rechteckig ist. Aus diesem Grund ist eine iterative Approximation erforderlich, und hier verwenden wir das Newton-Raphson-Schema Akanbi & Katopodes, 1987 hierfür (siehe auch die ILIAS-Plattform der Universität Stuttgart](https://ilias3.uni-stuttgart.de)).

Verwenden Sie ein Newton-Raphson-Lösungssystem Paine, 1992, um die Wassertiefe h für eine bestimmte Entladung Q eines Trapezkanals zu interpolieren.

• Neue Funktion schreiben def interpolate_h(Q, b, m, S, **kwargs):

• Definieren Sie eine erste Vermutung von h (z.B. h = 1.0) und eine anfängliche Fehlermarge (z.B. eps = 1.0)

• Verwenden Sie eine while Schleife, bis die Fehlermarge vernachlässigbar klein ist (z.B. while eps > 10**-3:) und berechnen Sie die :

  • benetzte Fläche A (siehe obige Formel)

  • benetzter Perimeter P (siehe obige Formel)

  • aktuelle Entlastungsvermutung (basierend auf h): Qk = A ** (5/3) * sqrt(S) / (n_m * P ** (2 / 3))

  • Fehler-Update eps = abs(Q - Qk) / Q

  • derivative of A:
    dA_dh = b + 2 * m * h

  • derivative of P:
    dP_dh = 2 * m.sqrt(m ** 2 + 1)

  • Funktion, die null werden sollte F = n_m * Q * P ** (2 / 3) - A ** (5 / 3) * m.sqrt(S)

  • its derivative:
    dF_dh = 2/3 * n_m * Q * P ** (-1 / 3) * dP_dh - 5 / 3 * A ** (2 / 3) * m.sqrt(S) * dA_dh

  • Wassertiefe Update h = abs(h - F / dF_dh)

• Implementieren Sie einen Notstopp, um endlose Iterationen zu vermeiden - das Newton-Raphson-System ist nicht immer stabil!

• Return h und eps (oder berechnete Ausgabe Qk)