1d Hydraulique (formule Manning-Strickler)

Préparez-vous en clonant le dépôt d’exercices :

git clone https://github.com/Ecohydraulics/Exercise-ManningStrickler.git

Contexte théorique¶

The Gauckler-Manning-Strickler formula Kundu & Cohen, 2008 (or Strickler formula in Europe) relates water depth and flow velocity of open channel flow based on the assumption of one-dimensional (cross-section-averaged) flow characteristics. The Strickler formula results from a heavy simplification of the Navier-Stokes equations and the Continuity equation Kundu & Cohen, 2008. Even though one-dimensional (1d) approaches have largely been replaced by at least two-dimensional (2d) numerical models today, the 1d Strickler formula is still frequently used as a first approximation for boundary conditions.

La forme de base de la formule Strickler est:

où:

• $u$ est la vitesse de débit moyenne de section en (m/s)

• $k_{st}$ is the Strickler coefficient in fictional (m$^{1/3}$/s) corresponding to the inverse of Manning’s $n_m$.

  • $k_{st}$ $\approx$ 20 ($n_m \approx$ 0,05) pour les rivières rugueuses, complexes et proches de la nature

  • $k_{st}$ $\approx$ 90 ($n_m \approx$ 0.011) pour les canaux lisses et en béton

  • $k_{st}$ $\approx$ 26/$D_{90}^{1/6}$ (approximation based on the grain size $D_{90}$, where 90% of the surface sediment grains are smaller, according to Meyer-Peter & Müller (1948).

• $S$ est la pente d’énergie hypothétique (m/m), qui peut être supposée correspondre à la pente du canal pour des conditions d’écoulement stables et uniformes.

• $R_{h}$ est le rayon hydraulique en (m)

Le rayon hydraulique $R_{h}$ est le rapport entre la zone mouillée $A$ et le périmètre mouillé $P$. $A$ et $P$ peuvent être calculées en fonction de la profondeur d’eau $h$ et de la largeur de base du canal $b$. De nombreuses sections de canaux peuvent être approchées avec une forme trapézoïdale, où la largeur de surface de l’eau $B=b+2\cdot h\cdot m$ (avec $m$ étant la pente de la rive comme indiqué dans la figure ci-dessous).

Ainsi, $A$ et $P$ résultats des formules suivantes:

Enfin, la décharge $Q$ (m3/s) peut être calculée comme suit:

Calculer la décharge¶

Écrire un script qui imprime la décharge en fonction de la largeur de base du canal $b$, la pente de la banque $m$, la profondeur d’eau $h$, la pente $S$, et le coefficient Strickler $k_{st}$.

Fonctionnaliser¶

Faites le calcul dans une fonction (par exemple, def calc_discharge(b, h, k_st, m, S): ...) qui retourne la décharge $Q$.

Flexibilité¶

Make the function more flexible through the implementation of (optional) keyword arguments so that a user can optionally either provide the $D_{90}$ (D90), the Strickler coefficient $k_{st}$ (k_st), or Manning’s $n_m$ (n_m).

Inverser la fonction¶

La solution en arrière de la formule Manning-Strickler est un problème non linéaire si le canal n’est pas rectangulaire. C’est pourquoi une approximation itérative est nécessaire et ici, nous utilisons le système Newton-Raphson Akanbi & Katopodes, 1987 à cette fin (voir aussi la plateforme ILIAS de l’Université de Stuttgart).

Utilisez une solution Newton-Raphson Paine, 1992 pour interpoler la profondeur d’eau h pour une décharge donnée Q d’un canal trapèze.

• Écrire une nouvelle fonction def interpolate_h(Q, b, m, S, **kwargs):

• Définir une estimation initiale de h (par exemple, h = 1.0) et une marge d’erreur initiale (par exemple, eps = 1.0)

• Utilisez une boucle while jusqu’à ce que la marge d’erreur soit négligeable (par exemple, while eps > 10**-3:) et calculez :

  • zone humide A (voir la formule ci-dessus)

  • périmètre humide P (voir la formule ci-dessus)

  • devinée de décharge actuelle (fondée sur h): Qk = A ** (5/3) * sqrt(S) / (n_m * P ** (2 / 3))

  • mise à jour d’erreur eps = abs(Q - Qk) / Q

  • derivative of A:
    dA_dh = b + 2 * m * h

  • derivative of P:
    dP_dh = 2 * m.sqrt(m ** 2 + 1)

  • fonction qui devrait devenir zéro F = n_m * Q * P ** (2 / 3) - A ** (5 / 3) * m.sqrt(S)

  • its derivative:
    dF_dh = 2/3 * n_m * Q * P ** (-1 / 3) * dP_dh - 5 / 3 * A ** (2 / 3) * m.sqrt(S) * dA_dh

  • mise à jour de la profondeur d’eau h = abs(h - F / dF_dh)

• Mettre en place un arrêt d’urgence pour éviter des itérations sans fin - le système Newton-Raphson n’est pas toujours stable!

• Retour h et eps (ou débit calculé Qk)