Über die Datenanalyse - Hydro-Informatics

Traditionell wurden dimensionale Analysen verwendet, um Erkenntnisse aus unterschiedlichen experimentellen Setups und Umfrageumgebungen abzuleiten. Dieses Kapitel gräbt kurz in die Art der Daten ein und erklärt traditionelle Dateneinsichten mit dimensionaler Analyse.

Die Natur der Daten¶

Dimensionsanalyse¶

Dieser Abschnitt führt die Skalierungstheorie nach Barenblatt (1987), Barenblatt (1996) und Yalin (1971) ein.

Mathematical Modell Beschreibung¶

Flusshydrodynamik kann durch einen vereinfachten Ausdruck der eindimensionalen Navier-Stokes equations für inkompressible Fluide ausgedrückt werden, vorausgesetzt hydrostatische Druckverteilung Kundu & Cohen, 2008Graf & Altinakar, 2011). Dies führt zu den in einigen hydraulischen Computermodellen (z.B. HEC-RAS oder BASEMENT1D U.S. Army Corps of Engineeers, 2016VAW, 2017) verwendeten Wassergleichungen von Saint-Venant. Diese flache Wassergleichung besteht aus fünf Begriffen Jansen et al., 1994:

\overbrace{\frac{1}{g} \frac{\partial u}{\partial t}}^{I} + \overbrace{\frac{u}{g} \frac{\partial u}{\partial x}}^{II} + \overbrace{\frac{\partial h}{\partial x}}^{III} + \overbrace{\frac{\partial z}{\partial x}}^{IV} = \overbrace{-\frac{u\left| u \right|}{C^2 h}}^{V = S_e}

(1)

Die fünf Begriffe können für die Ableitung von Skalierungsfaktoren $\lambda$ getrennt miteinander verknüpft werden. Das Gleichsetzen der Skalen der Begriffe I und II ergibt somit De Vries, 1993:

\frac{\lambda_u}{\lambda_t} = \frac{\lambda_u^2}{\lambda_l} \Longrightarrow \lambda_l = \lambda_u \cdot \lambda_t

(2)

wenn

$\lambda_u$ $\equiv$ velocity scale and
$\lambda_t$ & $\equiv$ & Zeitskala.

Postulating that the gravity scale $\lambda_g$ is unity, the comparison of the scales of terms II and V results in:

\frac{\lambda_u^2}{\lambda_l} = \frac{\lambda_u^2}{\lambda_C^2 \cdot \lambda_h} \Longrightarrow \lambda_C^2 = \sqrt{\frac{\lambda_l}{\lambda_h}}

(3)

where $\lambda_C$ $\equiv$ Ch'ezy roughness scale.

Similitude Konzepte¶

Die Ähnlichkeit der Froude-Nummer in einem skalierten Modell und einem Prototyp wird auf Basis der Froude-Bedingung erreicht, die sich aus der Gleichsetzung der Skalierungen der Begriffe II und III in der obigen Gleichung De Vries, 1993 ergibt:

\frac{\lambda_u^2}{\lambda_l} = \frac{\lambda_h}{\lambda_l} \Longrightarrow \lambda_u = \sqrt{\lambda_h}.

(4)

The similarity of sediment transport is of particular interest in this study and requires that the scales of the dimensionless bed shear stress $\tau_{*}$ and of the bed load transport intensity $\Phi_b$ are unity (i.e., $\lambda_{\tau_*}$ =1 and $\lambda_{\Phi}$ =1 De Vries, 1993).

In Bezug auf die Schergeschwindigkeit $u_*$ = $\sqrt{\tau/\rho_f}$ = $\sqrt{\tau_*(s-1)gD}$ und die Anforderung von $\lambda_{\tau_*}$ =1 wird die Ähnlichkeit des Sedimenttransports angegeben, wenn Jansen et al., 1994:

\lambda_u^2 \approx \lambda_s \cdot \lambda_{D}

(5)

wenn

$\lambda_s$ $\equiv$ scale of relative sediment density
$\lambda_{D}$ $\equiv$ scale of grain diameter.

Die Ähnlichkeit des einheitlichen Sedimenttransports (d.h. je Stückbreite) lässt sich anhand der Skala $\lambda_{q_b}$ , die sich aus der Exner equation:

\frac{\partial z}{\partial t} = -\frac{1}{1-\zeta} \cdot \frac{\partial q_s}{\partial x}

(6)

In Bezug auf die vorstehenden Skalenüberlegungen wird $\lambda_{q_b}$ als:

\frac{\lambda_l}{\lambda_t} = \frac{\lambda_{q_b}}{\lambda_l} \Rightarrow \lambda_{q_b} =\frac{\lambda_l^2}{\lambda_t} = \lambda_l^{3/2}

(7)

$\lambda_{q_b}$ refers to volumetric fluxes. The scale of the mass flow rate $\lambda_{\dot{q}_b}$ can be computed by multiplying the above equation by the sediment density $\rho_s$ . Postulating the density scale of $\lambda_{s}$ =1, the mass flow rate scale is also $\lambda_{\dot{q}_b}= \lambda_l^{3/2}$ . The boundary conditions imposed by the feasibility of the laboratory experiments entail that the densities of the sediment in nature and in the model are similar (i.e., $\lambda_s$ =1). Thus, the Froude similarity ( $\lambda_u = \sqrt{\lambda_h}$ ) and the similarity of sediment transport ( $\lambda_u = \sqrt{\lambda_{D}}$ ) require that $\lambda_{D}$ = $\lambda_h$ (i.e., the same geometric scales apply to the grain diameter as well as to the water depth) Jansen et al., 1994. This condition can be considered as fulfilled in this study, as of coarse sediments in the shape of gravel are used for the experiments.

References¶

Barenblatt, G. I. (1987). Dimensional Analysis. Gordon.
Barenblatt, G. I. (1996). Scaling, self-similarity and intermediate asymptotics. Dimensional Analysis and Intermediate Asymptotics. Cambridge University Press.
Yalin, M. S. (1971). Theory of hydraulic models (Vol. 266). Macmillan.
Kundu, P. K., & Cohen, I. M. (2008). Fluid Mechanics (4th ed.). Elsevier Inc.
Graf, W., & Altinakar, M. (2011). Hydraulique fluviale (Vol. 16). Presses polytechniques et universitaires romandes. https://www.epflpress.org/produit/66/9782880748128/hydraulique-fluviale-tgc-volume-16
U.S. Army Corps of Engineeers. (2016). Hydrologic Engineering Centers River Analysis System (HEC-RAS). U.S. Army Corps of Engineeers (USACE). http://www.hec.usace.army.mil/software/hec-ras/
VAW. (2017). Laboratory of Hydraulics, Hydrology and Glaciology (VAW) of the Swiss Federal Institute of Technology Zurich (ETHZ): BASEMENT v2.7. Swiss Federal Institute of Technology Zurich (ETHZ). http://www.basement.ethz.ch
Jansen, P. Ph., Van Bendegom, L., Van den Berg, J., De Vries, M., & Zanen, A. (1994). Scale models. In Principles of river engineering: The non-tidal alluvial river (pp. 305–321). Delftse Uitgevers Maatschappij.
De Vries, M. (1993). River Engineering. In Lecture notes. Delft University of Technology, Faculty of Civil Engineering.