A propos de l’analyse des données

Traditionnellement, l’analyse dimensionnelle a été utilisée pour tirer des enseignements de différentes configurations expérimentales et environnements d’enquête. Ce chapitre approfondit brièvement le type de données et explique les données traditionnelles avec une analyse dimensionnelle.

Nature des données¶

Analyse dimensionnelle¶

Cette section présente la théorie de l’échelle selon Barenblatt (1987), Barenblatt (1996), et Yalin (1971).

Description du modèle mathématique¶

L’hydrodynamique de la rivière peut être exprimée par une expression simplifiée de la dimension Navier-Stokes equations pour les fluides incompressibles, en supposant une distribution de pression hydrostatique Kundu & Cohen, 2008Graf & Altinakar, 2011. Il en résulte les équations d’eau peu profonde de Saint-Venant utilisées dans certains modèles d’ordinateur hydraulique (p. ex. HEC-RAS ou BASEMENT1D U.S. Army Corps of Engineeers, 2016VAW, 2017. Cette équation d’eau peu profonde se compose de cinq termes Jansen et al., 1994:

\overbrace{\frac{1}{g} \frac{\partial u}{\partial t}}^{I} + \overbrace{\frac{u}{g} \frac{\partial u}{\partial x}}^{II} + \overbrace{\frac{\partial h}{\partial x}}^{III} + \overbrace{\frac{\partial z}{\partial x}}^{IV} = \overbrace{-\frac{u\left| u \right|}{C^2 h}}^{V = S_e}

(1)

Les cinq termes peuvent être reliés séparément les uns aux autres pour la dérivation des facteurs d’échelle $\lambda$ . Ainsi, l’équation des échelles des termes I et II se traduit par De Vries, 1993:

\frac{\lambda_u}{\lambda_t} = \frac{\lambda_u^2}{\lambda_l} \Longrightarrow \lambda_l = \lambda_u \cdot \lambda_t

(2)

où

$\lambda_u$ $\equiv$ échelle de vitesse et
$\lambda_t$ & $\equiv$ & échelle de temps.

Postulant que l’échelle de gravité $\lambda_g$ est l’unité, la comparaison des échelles des termes II et V donne les résultats suivants :

\frac{\lambda_u^2}{\lambda_l} = \frac{\lambda_u^2}{\lambda_C^2 \cdot \lambda_h} \Longrightarrow \lambda_C^2 = \sqrt{\frac{\lambda_l}{\lambda_h}}

(3)

where $\lambda_C$ $\equiv$ Ch'ezy roughness scale.

Concepts de Similitude¶

La similarité du nombre de Froude dans un modèle à échelles et un prototype est obtenue sur la base de la condition Froude, qui résulte de l’équivalence des échelles des termes II et III dans l’équation ci-dessus De Vries, 1993:

\frac{\lambda_u^2}{\lambda_l} = \frac{\lambda_h}{\lambda_l} \Longrightarrow \lambda_u = \sqrt{\lambda_h}.

(4)

La similarité du transport des sédiments est particulièrement intéressante dans cette étude et exige que les échelles de dimensionless bed shear stress $\tau_{*}$ et de bed load transport intensity $\Phi_b$ soient unies (i.e., $\lambda_{\tau_*}$ =1 et $\lambda_{\Phi}$ =1 De Vries, 1993).

En ce qui concerne la vitesse de cisaillement $u_*$ = $\sqrt{\tau/\rho_f}$ = $\sqrt{\tau_*(s-1)gD}$ et l’exigence de $\lambda_{\tau_*}$ =1, la similitude du transport des sédiments est donnée lorsque Jansen et al., 1994:

\lambda_u^2 \approx \lambda_s \cdot \lambda_{D}

(5)

où

$\lambda_s$ $\equiv$ échelle de densité relative des sédiments
$\lambda_{D}$ $\equiv$ échelle du diamètre du grain.

La similitude du transport unitaire des sédiments (c.-à-d. par unité de largeur) peut être vérifiée sur la base de l’échelle $\lambda_{q_b}$ , qui est dérivée de l’échelle Exner equation:

\frac{\partial z}{\partial t} = -\frac{1}{1-\zeta} \cdot \frac{\partial q_s}{\partial x}

(6)

En ce qui concerne les considérations relatives à l’échelle ci-dessus, $\lambda_{q_b}$ est dérivé comme suit:

\frac{\lambda_l}{\lambda_t} = \frac{\lambda_{q_b}}{\lambda_l} \Rightarrow \lambda_{q_b} =\frac{\lambda_l^2}{\lambda_t} = \lambda_l^{3/2}

(7)

$\lambda_{q_b}$ refers to volumetric fluxes. The scale of the mass flow rate $\lambda_{\dot{q}_b}$ can be computed by multiplying the above equation by the sediment density $\rho_s$ . Postulating the density scale of $\lambda_{s}$ =1, the mass flow rate scale is also $\lambda_{\dot{q}_b}= \lambda_l^{3/2}$ . The boundary conditions imposed by the feasibility of the laboratory experiments entail that the densities of the sediment in nature and in the model are similar (i.e., $\lambda_s$ =1). Thus, the Froude similarity ( $\lambda_u = \sqrt{\lambda_h}$ ) and the similarity of sediment transport ( $\lambda_u = \sqrt{\lambda_{D}}$ ) require that $\lambda_{D}$ = $\lambda_h$ (i.e., the same geometric scales apply to the grain diameter as well as to the water depth) Jansen et al., 1994. This condition can be considered as fulfilled in this study, as of coarse sediments in the shape of gravel are used for the experiments.

References¶

Barenblatt, G. I. (1987). Dimensional Analysis. Gordon.
Barenblatt, G. I. (1996). Scaling, self-similarity and intermediate asymptotics. Dimensional Analysis and Intermediate Asymptotics. Cambridge University Press.
Yalin, M. S. (1971). Theory of hydraulic models (Vol. 266). Macmillan.
Kundu, P. K., & Cohen, I. M. (2008). Fluid Mechanics (4th ed.). Elsevier Inc.
Graf, W., & Altinakar, M. (2011). Hydraulique fluviale (Vol. 16). Presses polytechniques et universitaires romandes. https://www.epflpress.org/produit/66/9782880748128/hydraulique-fluviale-tgc-volume-16
U.S. Army Corps of Engineeers. (2016). Hydrologic Engineering Centers River Analysis System (HEC-RAS). U.S. Army Corps of Engineeers (USACE). http://www.hec.usace.army.mil/software/hec-ras/
VAW. (2017). Laboratory of Hydraulics, Hydrology and Glaciology (VAW) of the Swiss Federal Institute of Technology Zurich (ETHZ): BASEMENT v2.7. Swiss Federal Institute of Technology Zurich (ETHZ). http://www.basement.ethz.ch
Jansen, P. Ph., Van Bendegom, L., Van den Berg, J., De Vries, M., & Zanen, A. (1994). Scale models. In Principles of river engineering: The non-tidal alluvial river (pp. 305–321). Delftse Uitgevers Maatschappij.
De Vries, M. (1993). River Engineering. In Lecture notes. Delft University of Technology, Faculty of Civil Engineering.